Question

2．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千克）對年消售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千克）的影響，對近8年的宣傳費(fèi)x_i和年銷售量y_i（i=1，2，3，..8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中：w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d $\sqrt{x}$，哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（Ⅱ）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題：
（i）當(dāng)年宣傳費(fèi)x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？
（ii）當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？并求出最大值
附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂）…..（u_n，v_n），其回歸線$\widehat{v}$=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）（{v}_{1}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{1}-\overline{u}）^{2}}$，α=$\overline{v}$-β$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)散點圖，即可判斷出，
（Ⅱ）先建立中間量w=$\sqrt{x}$，建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w，問題得以解決；
（Ⅲ）（i）年宣傳費(fèi)x=49時，代入到回歸方程，計算即可，
（ii）求出預(yù)報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散點圖可以判斷，y=c+d $\sqrt{x}$，適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于$\widehatrpb9j9l$=$\frac{108.6}{1.6}$68，
$\widehat{c}$=$\widehat{y}$-$\widehat919v7rf$w=563-68×6.8=100.6，
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為$\widehat{y}$=100.6+68w，
∴y關(guān)于x的回歸方程為$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值$\widehat{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利潤z的預(yù)報值$\widehat{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果可知，年利潤z的預(yù)報值$\widehat{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當(dāng)$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8時，年利潤的預(yù)報值最大．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，屬于中檔題．