Question

若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，
（1）有序數(shù)對(duì)（a，b）共有多少個(gè)？將結(jié)果列舉出來(lái)．
（2）求

a

≤

b

-1成立的概率．
（3）設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)，求f（x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

分析：（1）利用分步乘法原理和列舉法即可得出；
（2）驗(yàn)證條件“

a

≤

b

-1”即可找出；
（3）利用基本不等式可得：f(x)＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為(

a

+1)2＞b成立．經(jīng)驗(yàn)證即可得出要求事件包括的基本事件，再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）基本事件總數(shù)=

C

1 3

×

C

1 4

=12個(gè)，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
（2）設(shè)事件A為“

a

≤

b

-1”，事件A包含事件：（1，4），（1，5）．
由古典概型得P=

2

12

=

1

6

．
（3）設(shè)事件B：“f（x）＞b恒成立”，則x＞1，a＞0，
f(x)=

x2+(a+1)x+a

x

(x＞0)=x+

a

x

+a+1≥2

a

+a+1=(

a+1

)2，
∴f(x)min=(

a

+1)2，
于是f(x)＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為(

a

+1)2＞b成立．
則事件B包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個(gè)．
由古典概型得P(B)=

10

12

=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分步乘法原理、列舉法、古典概型的概率計(jì)算公式及利用基本不等式把問(wèn)題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．