已知點(diǎn)P在曲線C:y=
1
x
 (x>1)
上,曲線C在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=kx(k>0)的圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB,記f(t)=xA•xB
(1)求f(t)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(
an-1
) (n≥2 且 x∈N*)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在 (2)的條件下,當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式a1+a2+…+an
3n-8k
k
(1)∵y=
1
x
,
y=-
1
x2
,
∴切線方程為y-
1
t
=-
1
t2
(x-t)
,
與y=kx聯(lián)立得:xA=
2t
kt2+1
,令y=0,得:xB=2t,
∵f(t)=xA•xB,
f(t)=
4t2
kt2+1
(k>0,t>1).
(2)由an=f(
an-1
)
得:an=
4an-1
kan-1+1
,
1
an
=
kan-1+1
4an-1
=
1
4
1
an-1
+
k
4
,
設(shè)bn=
1
an
-
k
3
,
bn=
1
an
-
k
3
=
1
4
(
1
an-1
-
k
3
)=
1
4
bn-1
,
∵a1=1,
∴①當(dāng)k=3時(shí),b1=
1
a1
-1=0
,
∴{bn}是以0為首項(xiàng)的常數(shù)數(shù)列,
∴an=1.
②當(dāng)k≠3時(shí),{bn}是以1-
k
3
為首項(xiàng),
1
4
為公比的等比數(shù)列,
bn=(1-
k
3
)(
1
4
)n-1
,
解得an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
,
由①②,得an=
3•4n-1
k•4n-1+3-k

(3)∵an-
3
k
=
3•4n-1
k•4n-1+3-k
-
3
k

=
3k-9
k(k•4n-1+3-k)

=
3k-9
k24n-1+k(3-k)
,
∵1<k<3,
an-
3
k
3k-9
k2
1
4n-1
,
a1+a2+…+an-
3n-8k
k

=(a1-
3
k
)+(a2-
3
k
)+…+(an-
3
k

=
3k-9
k2
(1+
1
4
+…+
1
4n-1
)+8

=
4(k-3)
k2
[1-(
1
4
)
n
]+8

4(k-3)
k2
+8

=
4(2k+3)(k-1)
k2
,
∵1<k<3,
4(2k+3)(k-1)
k2
>0.
a1+a2+…+an
3n-8k
k
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P在曲線C:y=
1
x
(x>1)上,設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若l與函數(shù)y=kx(k>0)的圖象的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為B,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB,記f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}(n≥1,n∈N)滿足a1=1,an=f(
an-1
)
(n≥2),數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an
-
k
3
,求an與bn;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式:a1+a2+…+an
3n-8k
k

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P在曲線C:y=
1
x
 (x>1)
上,曲線C在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=kx(k>0)的圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB,記f(t)=xA•xB
(1)求f(t)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(
an-1
) (n≥2 且 x∈N*)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在 (2)的條件下,當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式a1+a2+…+an
3n-8k
k

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年浙江省寧波市余姚中學(xué)高三(上)第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)P在曲線C:y=(x>1)上,設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若l與函數(shù)y=kx(k>0)的圖象的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為B,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB,記f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}(n≥1,n∈N)滿足a1=1,an=(n≥2),數(shù)列{bn}滿足bn=,求an與bn;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式:a1+a2+…+an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年四川省自貢市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)P在曲線C:y=(x>1)上,設(shè)曲線C在點(diǎn)P處的切線為l,若l與函數(shù)y=kx(k>0)的圖象的交點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為B,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB,記f(t)=xA•xB
(Ⅰ)求f(t)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}(n≥1,n∈N)滿足a1=1,an=(n≥2),數(shù)列{bn}滿足bn=,求an與bn;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)1<k<3時(shí),證明不等式:a1+a2+…+an

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