如圖，設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的點(diǎn)，且
PF1
•
PF1
•
PF2
=0；如果△PF1F2的面積為
1
3
a2，那么該橢圓的離心率為
6
3
6
3
．
分析：利用
PF1
•
PF2
=0，可知
PF1
⊥
PF2
，結(jié)合橢圓的定義，及△PF1F2的面積，可求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．
解答：解：由題意，∵
PF1
•
PF2
=0，∴
PF1
⊥
PF2

設(shè)PF1=m，PF2=n
∴
1
2
mn=
1
3
a2
m2+n2=4c2
m+n=2a

∴e2=
2
3

∴e=
6
3

故答案為：
6
3
．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是橢圓的簡單性質(zhì)，主要考查橢圓的定義，考查橢圓的離心率，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點(diǎn)F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A．連接OA交小圓于點(diǎn)B．設(shè)直線BF是小圓的切線．
（1）求證c2=ab，并求直線BF與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線BF交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求證
OP
•
OQ
=
1
2
b2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，其長軸長與短軸長的和等于6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，直線PA1、PA2分別交x軸于點(diǎn)N、M，若直線OT與過點(diǎn)M、N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A，且
AF1
=2
AF2
．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（2）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(diǎn)（如圖所示），若四邊形DMEN的面積為
27
7
，求DE的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B，D分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，A為橢圓在第一象限內(nèi)弧上的任意一點(diǎn)，直線AF1交y軸于點(diǎn)E，且點(diǎn)F1，F(xiàn)2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．

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