Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求的極值；

（2）若時，與的單調(diào)性相同，求的取值范圍；

（3）當時，函數(shù)，有最小值，記的最小值為，證明：.

Answer 1

【答案】(1) 極小值，無極大值. (2) (3)證明見解析

【解析】

（1）通過導函數(shù)大于零和小于零的解得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出極值；

（2）由（1）知，在單調(diào)遞增，則在恒成立，轉(zhuǎn)化成不等式恒成立求參數(shù)范圍；

（3）時，有最小值，則的最小值是這個區(qū)間上的極小值，隱含著的根，結(jié)合根的存在性定理確定的范圍，利用隱零點關(guān)系轉(zhuǎn)化，即可求證.

解：（1）的定義域為，，

當時，；當時，，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

所以有極小值，無極大值.

（2）由（1）知，在單調(diào)遞增.

則在單調(diào)遞增，即在恒成立，

即在恒成立，

令，；，

所以當時，；當時，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

又時，，所以，

∴.

（3），，，

∵，，∴，

∴在單調(diào)遞增，

又，，

∴存在唯一的，使得，

即，即，

當時，，單調(diào)遞減，

當時，，單調(diào)遞增，

∴，

令，，則恒成立，

則在上單調(diào)遞減，

∴即即，

∴.