Question

已知點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓E：

x2

4

+y²=1任意一點(diǎn)，直線m的方程為

x0x

4

+y₀y=1．
（1）判斷直線m與橢圓E交點(diǎn)的個數(shù)；
（2）過點(diǎn)（2，3）作動直線l交橢圓E于兩個不同的點(diǎn)P、Q，過P、Q作橢圓的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)四邊形POQM的面積為4時，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線m的方程與橢圓E：

x2

4

+y²=1聯(lián)立，消去y，并整理，結(jié)合點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓E：

x2

4

+y²=1任意一點(diǎn)，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)l：y=k（x-2）+3，與橢圓E：

x2

4

+y²=1聯(lián)立，消去y，并整理，求出|PQ|，到PQ的距離，M到PQ的距離，利用四邊形POQM的面積為4，求出k，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）直線m的方程與橢圓E：

x2

4

+y²=1聯(lián)立，消去y，并整理得（y₀²+

x02

4

）x²-2x₀x+4-4y₀²=0
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓E：

x2

4

+y²=1任意一點(diǎn)，
∴x²-2x₀x+x₀²=0，
∴△=4x₀²-4x₀²=0，
故直線m與橢圓E只有一個交點(diǎn)；
（2）設(shè)l：y=k（x-2）+3，與橢圓E：

x2

4

+y²=1聯(lián)立，消去y，
并整理得（1+4k²）x²+8k（3-2k）x+4（4k²-12k+8）=0
△=64（3k-2）＞0，可得k＞

2

3

設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則過P，Q的橢圓的切線方程分別為

x1x

4

+y₁y=1①，

x2x

4

+y₂y=1②
①×x₂-②×x₁，結(jié)合y₁=k（x₁-2）+3，y₂=k（x₂-2）+3，得y=

1

3-2k

（k≠

3

2

），
同理x=

-4k

3-2k

（k≠

3

2

），
|PQ|=

64(3k-2)(1+k2)

1+4k2

，O到PQ的距離d₁=

|3-2k|

1+k2

，M到PQ的距離d₂=

4|3k-2|

|3-2k| 1+k2

，
∴d₁+d₂=

4k2+1

|3k-2| 1+k2

，
四邊形POQM的面積S=

1

2

（d₁+d₂）|PQ|=

4 3k-2

|3-2k|

=4，
∴k=1或k=

11

4

，
∴直線l的方程為x-y+1=0或11x-4y-10=0．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的切線方程，考查面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．