Question

2．求和：S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

分析 利用條件計算S₁，S₂，S₃，由此推測S_n的計算公式；利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：S₁=$\frac{1}{3}$，S₂=$\frac{2}{5}$，S₃=$\frac{3}{7}$
猜想：S_n=$\frac{n}{2n+1}$．
①n=1時，S₁成立；
②假設n=k時，猜想成立，即S_k=$\frac{k}{2k+1}$，
則n=k+1時，S_k+1=$\frac{k}{2k+1}$+$\frac{1}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{k+1}{2（k+1）+1}$，
∴n=k+1時猜想也成立
根據(jù)①②可知猜想對任何n∈N^*都成立

點評 本題考查歸納推理，用數(shù)學歸納法證明等式，證明故當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．