Question

現(xiàn)將邊長為2米的正方形鐵片ABCD裁剪成一個(gè)半徑為1米的扇形和一個(gè)矩形CRGP，如圖所示，點(diǎn)E、F、P、R分別在AB、AD、BC、CD上，點(diǎn)G在上．設(shè)矩形CRGP的面積為S，∠GAE=θ，試將S表示為θ的函數(shù)，并指出點(diǎn)G在的何處時(shí)，矩形面積最大，并求之．

Answer 1

解：延長RG交AB于點(diǎn)M，則GP=AB-AM=2-cosθ，PC=BC-MG=2-sinθ，
于是，S=GP•PC=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
令t=sinθ+cosθ=sin（θ+45°），則sinθcosθ=，
所以S=4-2t+=（t-2）²+．
∵0⁰≤θ≤90⁰
∴
∴當(dāng)t=1，即θ=45°時(shí)，S有最大值2，
此時(shí)點(diǎn)G在的中點(diǎn)，矩形面積最大值為2．
分析：先利用線段之間的關(guān)系求出矩形CRGP的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，再借助于θ的取值范圍以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值的方法即可求出矩形面積最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用問題．解決本題的關(guān)鍵在于求出矩形CRGP的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式．