Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為s_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=11，且其前9項(xiàng)的和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

bn-2

3an

，數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，求使不等式Tn＞

k

2

對(duì)一切n∈N⁺都成立的所有正整數(shù)k．

Answer 1

分析：（1）由項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，得a_n=2^n-1，由所給等式推出數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，由已知條件列方程組求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求（1）知數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式，代入求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法求出其前n項(xiàng)和，判斷T_n的增減性，求出最小項(xiàng)，代入不等式，求得正整數(shù)k．

解答：解：a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1，符合上式，∴a_n=2^n-1，
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），
∴b_n+2+b_n=2b_n+1（n∈N⁺），
∴數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴

b1+2d=11 9b1+ 9×8 2 d=153

得

b1=5 d=3

∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）cn=

bn-2

3an

=

n

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

T_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1+

1 2 (1-  ( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

，∵Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，∴T_n遞增，
∴T_n＞T₁=1，∴

k

2

＜1?k＜2，因?yàn)閗為正整數(shù)，所以k=1．

點(diǎn)評(píng)：用項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，注意n=1的時(shí)候；已知數(shù)列為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)和公差即可；用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，用時(shí)要觀察項(xiàng)的特征，是否是等差數(shù)列的項(xiàng)與等比數(shù)列的項(xiàng)的乘積．