Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$-$\frac{{x}^{2}}{2m+6}$=1的離心率為$\sqrt{5}$，則實(shí)數(shù)m的值為1或-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的方程求出a，b的值，結(jié)合雙曲線的離心率建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵m²+1≥1，
∴由雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}+1}$-$\frac{{x}^{2}}{2m+6}$=1的方程得a²=m²+1，b²=2m+6＞0，得m＞-3，
則c²=m²+1+2m+6=m²+2m+7，
∵雙曲線的離心率e=$\sqrt{5}$，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+2m+7}{{m}^{2}+1}$=5，
即m²+2m+7=5m²+5，
即4m²-2m-2=0，得2m²-m-1=0，
得m=1或m=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：1或-$\frac{1}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．