Question

如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面， ，，為的中點(diǎn)，在棱上.

（1）求證：；
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線線平行、線線垂直、線面垂直、線面平行、面面垂直以及三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.第一問，在中，和都是中點(diǎn)，所以，利用面面垂直的判定可以判斷平面平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032236519370.png" style="vertical-align:middle;" />垂直2個(gè)面的交線，所以垂直平面，即平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032236815401.png" style="vertical-align:middle;" />垂直和，所以利用線面垂直的判定得平面，所以面內(nèi)的線；第二問，將所求三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)換，法一是利用，法二是利用，進(jìn)行求解.
試題解析：（Ⅰ）連接，
為的中點(diǎn)，，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032236300429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面平面，
且平面平面，，平面
所以平面，      4分
，又，平面，平面,
所以.       6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面,所以平面，
又平面，所以即為點(diǎn)與平面的距離，，而，      10分
      12分
解法二
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面,所以平面，
所以即為點(diǎn)與平面的距離
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