如下圖,某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22 m，要求通行車輛限高4.5 m，隧道全長2.5 km，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀.

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6 m，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最��？（半個橢圓的面積公式為lh，柱體體積為底面積乘以高.結(jié)果精確到0.1 m）

解析:當最大拱高h為定值時,隧道設計的拱寬l即為2a；當最大拱高h為變量時,可根據(jù)均值定理,得到橢圓面積為最小.

解:（1）如圖建立坐標系,則點P(11,4.5),橢圓方程為=1.將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱寬約為33.3 m.?

（2）由橢圓方程=1,得=1.?

因為≥

即ab≥99,且l=2a,h=b,?

所以S=lh=≥.?

當S取最小值時,有,得a=11,b=,此時,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.?

故當拱高約為6.4 m,拱寬約為31.1 m時,土方工程量最小.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：湖南師大附中2011－2012學年高二12月階段檢測數(shù)學理科試題 題型：044

如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

(1)若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

(2)若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？

(已知：橢圓＋＝1的面積公式為S＝πab，柱體體積為底面積乘以高．)

(3)為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5 m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l＝30 m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價與梯形頂部單位面積鋼板造價相同且為定值，試確定M、N的位置以及h的值，使總造價最少．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）如下圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬20 m，要求通行車輛限高5 m，隧道全長2.5 km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．

（1）若最大拱高h為6 m，則隧道設計的拱寬l是多少？

（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應如何設計拱高h和拱寬l？

（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）

（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若l=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價是梯形頂部單位面積鋼板造價的倍，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少.

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