【題目】已知正四面體ABCD的棱長為2,球O與四面體的面ABC和面DBC都相切,其切點分別在△ABC和△DBC內(nèi)(含邊界),且球O與棱AD相切.
(1)證明:球O的球心在棱AD的中垂面上;
(2)求球O的半徑的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)設AD的中點為E,聯(lián)結(jié)EB、EC.
由△CAD、△BAD都為正三角形知,AD⊥EC,AD⊥EB.所以,AD⊥平面BEC,即平面BEC為AD的中垂面.又易知平面BEC為二面角A-BC-D的平分面.
設P為平面BEC內(nèi)任一點,PQ⊥面ABC于Q,PR⊥面DBC于R.則BC⊥PQ,BC⊥PR.故BC⊥面PQR.設BC交面PQR于H,聯(lián)結(jié)PH、QH、RH.則PH⊥BC,QH⊥BC,RH⊥BC,∠OHR為二面角A-BC-D的平面角,PH平分∠OHR.從而,
Rt△PQH≌Rt△PRH,PQ=PR.
反之,若PQ=PR,則P在平面BEC內(nèi).
由于球心到平面ABC與平面DBC的距離相等,故球心O在平面BEC上.
(2) 如圖,設BC中點為F,聯(lián)結(jié)AF、DF、EF.
設∠AFD=2a,易得.
設球O與平面ABC和平面DBC的切點分別為M、N,AM交BC于G,聯(lián)結(jié)GD.
由對稱性知點N在GD上.
作EE’⊥F’D于E’,易知EE’⊥平面DBC,
且.
作NN’⊥BC于N’.設N’G= x,∠DGF=θ(-60°≤θ≤60°).
則.
故.
設球O的半徑為r,則
又在中,,所以,,
即.
代入式①化簡得.
從而,.
解得.
此吋,.
由,得.
即.
解得.
由切點在△4BC及△DBC內(nèi)知.
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【題目】已知命題:函數(shù)的圖像恒過定點;命題:若函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關于直線對稱,則下列命題為真命題的是( )
A. B. C. D.
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【題目】對于任意給定的無理數(shù)及實數(shù),圓周上的有理點的個數(shù)情況是()
A. 至多一個 B. 至多兩個 C. 至少兩個,個數(shù)有限 D. 無數(shù)多個
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【題目】在正方體的8個頂點、12條棱的中點、6個側(cè)面的中心點、1個體的中心點,這27個點中,共球面的8點組的個數(shù)是().
A. 4462 B. 4584 C. 4590 D. 4602
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1處取極小值,x=3處取極大值,且函數(shù)圖象在(2,f(2))處的切線與直線x-5y=0平行.
(1)求實數(shù)abc的值;
(2)設函數(shù)f(x)=0有三個不相等的實數(shù)根,求d的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中實數(shù)a為常數(shù).
(I)當a=-l時,確定的單調(diào)區(qū)間:
(II)若f(x)在區(qū)間(e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為-3,求a的值;
(Ⅲ)當a=-1時,證明.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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