Question

20．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P，且P在第一象限內(nèi)，若|PF₂|=2$\sqrt{3}$a，則雙曲線的離心率為3．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)|PF₂|=2$\sqrt{3}$a，求出a，b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率即可．

解答 3解：由題得以F₁F₂為直徑的圓的圓心是（0，0），半徑為：c；
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²+y²=c²
又雙曲線的其中一條漸近線方程為：y=$\frac{a}$x
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$，即P（a，b）．
∵F₂（c，0），|PF₂|=2$\sqrt{3}$a
∴|PF₂|=$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
平方得（a-c）²+b²=12a²，
即a²-2ac+c²+c²-a²=12a²，
即c²-ac-6a²=0，
即e²-e-6=0，
即e=3或e=-2（舍），
故雙曲線的離心率為3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)．根據(jù)條件得到圓的方程以及漸近線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的建立公式，求出a，b之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．