Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a∈（0，2]，使得對任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）將a=2代入，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f′（x）＞0時(shí)和f′（x）＜0時(shí)的x的取值范圍，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出f′（x）＞0時(shí)和f′（x）＜0時(shí)的x的取值范圍，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；若對任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立，則f（x）的最小值大于等于0，最大值小于等于a，分類討論后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-

9

2

x2+6x，
∴f′（x）=3x²-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，則x=1或x=2，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＜1，或x＞2； 當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，1＜x＜2，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）．        …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，
∴f′（x）=3x²-

3

2

(a+4)x +

3

2

(a+2)．
f′（x）=0，則x=1或x=

a

2

+1（a∈（0，2]），
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＜1，或x＞

a

2

+1；當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，1＜x＜

a

2

+1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（

a

2

+1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，

a

2

+1）．  …（9分）
因?yàn)閒（0）=0，下面分類討論研究當(dāng)x∈[0，a]時(shí)，f（x）最大值與最小值：
（1）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，
即f（x）的最小值為f（0）=0，最大值為f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在．   …（12分）
（2）當(dāng)1＜a≤2時(shí)，即1＜a＜

a

2

+1，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，a） 單調(diào)遞減，
即f（x）的最小值為f（0）=0或f（a），最大值為f（1），
只要

f(a)≥0 f(1)≤a

，解得a≥4，所以a也不存在．
綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a不存在．                         …（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力．熟練掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值時(shí)的方法和步驟是解答的關(guān)鍵．