Question

各項都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n，數(shù)列{c_n}滿足cn=

an (n為奇數(shù)) bn (n為偶數(shù))

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，當n為偶數(shù)時，求T_n；
（Ⅲ）同學甲利用第（Ⅱ）問中的T_n設計了一個程序如圖，但同學乙認為這個程序如果被執(zhí)行會是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意同學乙的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意及2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*），令n=1，求得數(shù)列的首項，再利用已知數(shù)列的前n項和與通項之間的關系，即可求出數(shù)列的通項；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），可以求出數(shù)列b_n的通項公式，再有數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，利用分組求和求出數(shù)列c_n的前n項的和；
（III）由題意及（2）可知n為偶數(shù)，即dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

，由于d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47分析該式即可．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，由2(S1+1)=a12+a1，解得a₁=2，
當n≥2時，由2(Sn+1)=an2+an，得2(Sn-1+1)=an-12+an-1．
兩式相減，并利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴bn=2n．
當n為偶數(shù)時，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
（Ⅲ）∵Pn=

n2

4

+24n（n為偶數(shù)），設dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

（n為偶數(shù)），
∴d₄＜d₆＜d₈＜d₁₀＜2007＜d₁₂＜d₁₄＜…．且d₂＜2007，（利用數(shù)列的單調(diào)性或函數(shù)的單調(diào)性判斷）
∴d_n≠2007，即T_n-P_n≠2007（n為偶數(shù)）．
因此同學乙的觀點正確．

點評：此題以程序圖為載體考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查了已知數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項，等比數(shù)列的定義及通項公式，還考查了學生分類討論的思想．解題時要認真審題，仔細解答．