Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣2x．

（1）求出函數(shù)f（x）在R上的解析式；

（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=；

（2）則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為[﹣1，1]．

【解析】

試題（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣2x，我們根據(jù)定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)的圖象必過(guò)原點(diǎn)，則f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函數(shù)f（x）在R上的解析式；

（2）根據(jù)（1）中分段函數(shù)的解析式，我們易畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，

∴當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；

當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則f（﹣x）=x2+2x．

∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），

即f（x）=﹣x2﹣2x．

綜上：f（x）=．

（2）函數(shù)f（x）=的圖象如下圖所示：

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為[﹣1，1]．