Question

12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（3）若x≥0時f（x）為增函數(shù)，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（1）、f（-1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是偶函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）由式f（x+1）-f（2-x）≤0得式f（x+1）≤f（2-x），
由（2）函數(shù)是偶函數(shù)，
則不等式等價為f（|x+1|）≤f（|2-x|），
∵x≥0時f（x）為增函數(shù)，
∴不等式等價為|x+1|≤|2-x|，
平方得x²+2x+1≤x²-4x+4，
即6x≤3，即x≤$\frac{1}{2}$，
即滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合為（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，