Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，n≥2時，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比數(shù)列．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)n≥2時，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比數(shù)列建立等式關系，令n=2，n=3，n=4，可分別求出a₂，a₃，a₄；
（2）將S_n²=a_n（S_n-

1

2

）中的a_n用S_n-S_n-1表示，化簡可得{

1

Sn

}是首項為

1

S1

=1，公差為2的等差數(shù)列，求出S_n，最后利用由an=

s1(n=1) sn-sn-1(n≥2)

求出a_n即可．

解答：解：（1）∵n≥2時，a_n、S_n、S_n-

1

2

成等比數(shù)列．
∴S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
當n=2時，S₂²=a₂（S₂-

1

2

），即（1+a₂）²=a₂（1+a₂-

1

2

）
解得a₂=-

2

3

當n=3時，S₃²=a₃（S₃-

1

2

），即（1-

2

3

+a₃）²=a₃（1-

2

3

+a₃-

1

2

）
解得a₃=-

2

15

當n=4時，S₄²=a₄（S₄-

1

2

），即（1-

2

3

-

2

15

+a₄）²=a₄（1-

2

3

-

2

15

+a₄-

1

2

）
解得a₄=-

2

35

∴a2=-

2

3

，a3=-

2

15

，a4=-

2

35

（2）∵S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）   （n≥2）
化簡得2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴等式兩邊同時除以S_nS_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2）
∴{

1

Sn

}是首項為

1

S1

=1，公差為2的等差數(shù)列
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1
則S_n=

1

2n-1

（n≥2）
當n=1時，也滿足上式
∴S_n=

1

2n-1

（n≥1）
a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

-2

(2n-1)(2n-3)

（n≥2）
當n=1時，上式也成立
故an=

-2

(2n-1)(2n-3)

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，同時考查了已知S_n求通項a_n的方法，屬于中檔題．