Question

（2012•長(zhǎng)春模擬）給出下列四個(gè)命題：
①?x₀∈R，使得

1

2

sinx₀+

3

2

cosx₀＞1；
②設(shè)f（x）=sin（2x+

π

3

），則?x∈（-

π

3

，

π

6

），必有f（x）＜f（x+0.1）；
③設(shè)f（x）=cos（x+

π

3

），則函數(shù)y=f（x+

π

6

）是奇函數(shù)；
④設(shè)f（2x）=2sin2x，則f（x+

π

3

）=2sin（2x+

π

3

）．
其中正確的命題的序號(hào)為

①③

（把所有滿足要求的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：直接找出x₀∈R，說明①的正誤；通過特例判斷②的正誤；利用函數(shù)的奇偶性判斷③的正誤；利用函數(shù)的運(yùn)算判斷④的正誤．

解答：解：對(duì)于①?x₀∈R，使得

1

2

sinx₀+

3

2

cosx₀＞1；可取x₀=0，

3

2

＞1，正確；
對(duì)于②設(shè)f（x）=sin（2x+

π

3

），則?x∈（-

π

3

，

π

6

），
例如x=

π

12

，必有f（

π

12

）=1，f（

π

12

+0.1）＜1；所以②不正確；
對(duì)于③設(shè)f（x）=cos（x+

π

3

），則函數(shù)y=f（x+

π

6

）=-sinx，是奇函數(shù)；正確；
對(duì)于④設(shè)f（2x）=2sin2x，f（x）=2sinx，則f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

）≠2sin（2x+

π

3

），不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．