Question

17．關(guān)于x的方程x²+4|x|+$\frac{2}{{{x^2}+4|x|}}$=3的最大實數(shù)根是$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=x²+4|x|，結(jié)合一元二次方程的解法求出t的值，然后再次進行求解即可．

解答 解：由x²+4|x|＞0得|x|（|x|+4）＞0，則x≠0，
設(shè)t=x²+4|x|，則t=x²+4|x|=（|x|+2）²-4＞0，
則方程等價為t+$\frac{2}{t}$=3，即t²-3t+2=0，
則（t-1）（t-2）=0，
則t=1或t=2，
當(dāng)（|x|+2）²-4=1時，得（|x|+2）²=5，
則|x|+2=$\sqrt{5}$，
則|x|=$\sqrt{5}$-2，則x=$\sqrt{5}$-2或x=2-$\sqrt{5}$，
當(dāng)（|x|+2）²-4=2時，得（|x|+2）²=6，
則|x|+2=$\sqrt{6}$，
則|x|=$\sqrt{6}$-2，則x=$\sqrt{6}$-2或x=2-$\sqrt{6}$，
則最大的實根為$\sqrt{6}-2$，
故答案為：$\sqrt{6}$-2

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．