Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-a），a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=2x平行，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x＞0時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立
①求實(shí)數(shù)a的值；
②x＞0時(shí)，比較a（x-

1

x

）與2lnx的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由平行直線的斜率相等方程求a的值即可；
（2）①求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的最大值，只要f（x）_max≤0，即可得到a的取值范圍；②令g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，求出導(dǎo)數(shù)，�。┊�(dāng)a=1時(shí)，ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）的極值和最值情況，確定函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而判斷所求的大小關(guān)系．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-a（x-a）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-a，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為1-a，
又切線與直線y=2x平行，即有1-a=2，解得a=-1；
（2）①函數(shù)f（x）=lnx-a（x-a）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增，f（x）無最值，則不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，x=

1

a

處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，f（x）取極大，且為最大，
若x＞0時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立，
則有f（x）_max≤0，即有-lna-1+a²≤0，令f（a）=-lna-1+a²，
則f（1）=0，由y=x²-1和y=lnx的圖象可得兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為x₀，1，
則a的取值范圍是[x₀，1]（0＜x₀＜0.5）；
②令g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx
則g′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x＞0）
�。┊�(dāng)a=1時(shí)，g′（x）=（

1

x

-1）²≥0，g（x）在（0，+∞）遞增，
且g（1）=0，則當(dāng)0＜x＜1，g（x）＜0，即有a（x-

1

x

）＜2lnx，
x＞1，則g（x）＞0，即有a（x-

1

x

）＞2lnx，
ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令y=ax²-2x+a，由于△=4-4a²＞0，則y=0有兩根，
即為x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，且x₁x₂=1．
且有在x₁處g（x）取極大值m＞0，在x₂處g（x）取極小值n＜0，
故g（x）=0與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)由小到大設(shè)為：b，c，d．
則有當(dāng)x=b，c，d，有a（x-

1

x

）=2lnx，
當(dāng)0＜x＜b，或c＜x＜d，有a（x-

1

x

）＜2lnx，
當(dāng)b＜x＜c，或x＞d有a（x-

1

x

）＞2lnx．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于綜合題．