已知函數(shù)f(x)=(2x-a)2+(2-x+a)2,x∈[-1,1].
(1)當(dāng)a=1時(shí),求使f(x)=3的x的值;
(2)求f(x)的最小值;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=2a2有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)令t=2x-2-x ,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=t2-2t+4,由f(x)=3,可得t2-2t+1=0,解得t的值,可得x的值.
(2)令f(x)=g(t)=t2-2at+2a2+2=(t-a)2+a2+2,根據(jù)由于t 在[-1,1]上單調(diào)遞增,求得t∈[-
3
2
,
3
2
]
,再分當(dāng)a<-
3
2
時(shí)、當(dāng)a∈[-
3
2
,
3
2
]
時(shí)、當(dāng)a>
3
2
時(shí)三種情況,分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g(t)的最小值.
(3)由題意可得方程t2-2at+2=0在[-
3
2
,
3
2
]
上有解,即 2a=t+
2
t
.當(dāng)t∈(0,
3
2
)時(shí),里哦也難怪基本不等式求得2a的范圍.再由 t+
2
t
為奇函數(shù),可得t∈[-
3
2
,0)
時(shí),2a的范圍,從而求得a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=22x+2-2x-2a(2x-2-x)+2a2 =(2x-2-x2-2a(2x-2-x)+2a2+2,
令t=2x-2-x ,當(dāng)a=1時(shí),f(x)=t2-2t+4,
由f(x)=3,得:t2-2t+1=0,解得t=1,
即 2x-2-x=1,解得x=lo
g
(1+
5
)
2

(2)令f(x)=g(t)=t2-2at+2a2+2=(t-a)2+a2+2,
由于t=2x-2-x,在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴t∈[-
3
2
3
2
]
,
當(dāng)a<-
3
2
時(shí),g(t)在[-
3
2
,
3
2
]
上是增函數(shù),g(t)的最小值為g(-
3
2
)=2a2+3a+
17
4

當(dāng)a∈[-
3
2
,
3
2
]
時(shí),函數(shù)g(t)的最小值為g(a)=a2+2.
當(dāng)a>
3
2
時(shí),g(t)在[-
3
2
,
3
2
]
上是減函數(shù),g(t)的最小值為g(
3
2
)=2a2-3a+
17
4

(3)關(guān)于x的方程f(x)=2a2有解,即方程t2-2at+2=0在[-
3
2
,
3
2
]
上有解.
而t≠0,∴2a=t+
2
t
,故當(dāng)t∈(0,
3
2
)時(shí),2a=t+
2
t
≥2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)t=
2
時(shí)取等號(hào),故此時(shí)a的范圍為[
2
,+∞).
又 t+
2
t
為奇函數(shù),故當(dāng)t∈[-
3
2
,0)
時(shí),a的范圍為(-∞,-
2
],
綜上可得,a的取值范圍是(-∞,-
2
]∪[
2
,+∞)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案