Question

9．已知線段BB′=4，直線l垂直平分BB′，交BB′于點(diǎn)O，在屬于l并且以O(shè)為起點(diǎn)的同一射線上取兩點(diǎn)P、P′，使OP•OP′=9，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求直線BP與直線B′P′的交點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 由已知互相垂直的兩條直線，以它建立直角坐標(biāo)系，求出直線BP與B′P′的方程，找出交點(diǎn)M的M坐標(biāo)，消掉字母即可得交點(diǎn)M的M軌跡方程．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，BB′為yy軸，l為xxx軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則B（0，2），B′（0，-2），
設(shè)P（a，0），a≠0，則由OP•OP′=9，得P′（$\frac{9}{a}$，0），
直線BP的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{2}=1$，即2x+ay-2a=0，
直線B′P′的方程為$\frac{x}{\frac{9}{a}}+\frac{y}{-2}=1$，即2ax-9y-18=0．
設(shè)M（x，y），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+ay-2a=0}\\{2ax-9y-18=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18a}{{a}^{2}+9}}\\{y=\frac{2{a}^{2}-18}{{a}^{2}+9}}\end{array}\right.$，
消去a，可得4x²+9y²=36（x≠0）．
∴點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為4的橢圓（除去點(diǎn)B、B′）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查取的參數(shù)方程，聯(lián)立方程組求解是關(guān)鍵，屬中檔題．