Question

下列四個命題中
①設(shè)A，B兩個定點，若|

PA

|-|

PB

|=3，則動點P的軌跡為雙曲線．
②過定圓C上一定點A作圓的動弦A，B，O為原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為橢圓．
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點，
其中真命題的序號為

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的定義可判斷①的正誤；
不妨令定圓C的圓心為坐標(biāo)原點，分別取OA、OB、AB的中點D、E、P，則四邊形ODEF為平行四邊形，易知即點P與點F重合，易證點P的軌跡是圓，從而可判斷②的正誤；
方程2x²-5x+2=0的兩根分別為可分別

1

2

與2，從而可判斷③的正誤；
分別求得雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1的焦點坐標(biāo)，再判斷④正誤即可．

解答： 解：①設(shè)A，B兩個定點，若|

PA

|-|

PB

|=3，則動點P的軌跡為雙曲線，錯誤，若|AB|=3，則動點P的軌跡為兩條射線，故①錯誤；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦A，B，O為原點，若

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為圓．
不妨令定圓C的圓心為坐標(biāo)原點，

分別取OA、OB、AB的中點D、E、P，則四邊形ODEF為平行四邊形，

OF

=（

OD

+

OE

）=

1

2

（

OA

+

OB

），即點P與點F重合，
因為點B在圓C上，以點A為中心，將點B縮小到原來的

1

2

，得到點P，所以點P的軌跡是圓，故②錯誤；
③方程2x²-5x+2=0的兩根分別為可分別

1

2

與2，它們可以作為橢圓和雙曲線的離心率，故③正確；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點坐標(biāo)為（±

25+9

，0），即（±

34

，0）；橢圓

x2

35

+y²=1的焦點坐標(biāo)為（±

35-1

，1），即（±

34

，0）；
它們有相同的焦點，故④正確；
綜上所述，真命題的序號為③④，
故答案為：③④

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查圓錐曲線的定義性質(zhì)及其應(yīng)用，考查分析、運算及作圖能力，屬于中檔題．