【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,,是曲線段:(是參數(shù),)的左、右端點(diǎn),是上異于,的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為.
(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程;
(2)求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)的參數(shù)方程可得直角坐標(biāo)方程,求出端點(diǎn),,求在處的切線斜率為和與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由垂直關(guān)系得的軌跡是以線段為直徑的圓。ú缓它c(diǎn)),由此建立極坐標(biāo)系,得出極坐標(biāo)方程.
(2)設(shè)直線與以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn),,則根據(jù)半徑相等,由相交弦定理,得,代入,即可得出最大值.
解:(1)如圖,曲線段即為拋物線上一段,
端點(diǎn),,
在處的切線斜率為,與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)?/span>,所以的軌跡是以線段為直徑的圓弧(不含端點(diǎn)),
以線段的中點(diǎn)為極點(diǎn),射線為極軸,建立極坐標(biāo)系,
則點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.
(2)設(shè)直線與以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn),,
則,
由相交弦定理,得
,
當(dāng),即時(shí),最大,最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】人們常說(shuō)的“幸福感指數(shù)”就是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo),常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示,該數(shù)越接近表示滿意度越高.為了解某地區(qū)居民的幸福感情況,隨機(jī)對(duì)該地區(qū)的男、女居民各人進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示:
幸福感指數(shù) | |||||
男居民人數(shù) | |||||
女居民人數(shù) |
(1)估算該地區(qū)居民幸福感指數(shù)的平均值;
(2)若居民幸福感指數(shù)不小于,則認(rèn)為其幸福.為了進(jìn)一步了解居民的幸福滿意度,調(diào)查組又在該地區(qū)隨機(jī)抽取對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查,用表示他們之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的對(duì)數(shù),求的期望(以樣本的頻率作為總體的概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若為函數(shù)的極小值點(diǎn),求的取值范圍,并求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)半圓中有兩個(gè)互切的內(nèi)切半圓,由三個(gè)半圓弧圍成曲邊三角形,作兩個(gè)內(nèi)切半圓的公切線把曲邊三角形分隔成兩塊,阿基米德發(fā)現(xiàn)被分隔的這兩塊的內(nèi)切圓是同樣大小的,由于其形狀很像皮匠用來(lái)切割皮料的刀子,他稱此為“皮匠刀定理”,如圖,若,則陰影部分與最大半圓的面積比為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,過(guò)點(diǎn)的直線,分別交于不同的兩點(diǎn)、,直線恒過(guò)點(diǎn)
(1)證明:直線,的斜率之和為定值;
(2)直線,分別與軸相交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體中,為線段的動(dòng)點(diǎn),則下列4個(gè)命題中正確的有( )個(gè)
(1) (2)平面平面
(3)的最大值為 (4)的最小值為
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形為矩形,,均為等邊三角形,,.
(1)過(guò)作截面與線段交于點(diǎn),使得平面,試確定點(diǎn)的位置,并予以證明;
(2)在(1)的條件下,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄AP與圓:內(nèi)切,且與直線相切,設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)曲線上一點(diǎn)()作兩條直線,與曲線分別交于不同的兩點(diǎn),,若直線,的斜率分別為,,且.證明:直線過(guò)定點(diǎn).
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