Question

已知定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，且f（1）=-1．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，試解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的特性得f（0）=b=0，再將x=1代入，由f（1）=-1解出a=-2；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，得原不等式可化成f（t-1）＜f（-t），再由f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，建立關(guān)于t的不等式組，解之即可得到實數(shù)t的取值范圍，從而得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

為奇函數(shù)，∴f（0）=b=0
又∵f（1）=

a×1+b

1+12

=

a

2

=-1，解得a=-2
綜上所述，得a=-2，b=0；
（2）∵函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
∴不等式f（t-1）+f（t）＜0，即f（t-1）＜-f（t）
即f（t-1）＜f（-t）
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴-1≤-t＜t-1≤1，解之得

1

2

＜t≤1
即原不等式的解集為{t|

1

2

＜t≤1}．

點評：本題給出奇函數(shù)滿足的條件，求函數(shù)的表達式并依此解關(guān)于t的不等式，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．