Question

現(xiàn)有若干枚形狀完全相同的硬幣，已知其中一枚略重，其余各枚重量均相同，要求使用天平（不用砝碼），將略重的那枚硬幣找出來(lái)．小王的方案是：首先任取兩枚放在天平兩側(cè)進(jìn)行稱(chēng)量，若天平不平衡，則重的那邊為略重的那枚硬幣：若天干平衡，將兩枚都取下，從剩下的硬幣中再任取兩枚放在天平兩側(cè)進(jìn)行稱(chēng)量，如此進(jìn)行下去，直到找到那枚略重的硬幣為止．若小王恰好在第一次就找出略重的那枚硬幣的概率為

2

9

．
（I ）請(qǐng)問(wèn)共有多少枚硬幣？
（II）設(shè)ξ為找到略重那枚硬幣時(shí)己稱(chēng)量的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)共有n枚硬幣，根據(jù)題意得
P₁=

C 1n-1

C 2n

=

2

9

，解得n=9．…（2分）
（Ⅱ）ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 18

C 29

=

2

9

，P（ξ=2）=

C 28

C 29

•

C 16

C 27

=

2

9

，P（ξ=3）=

C 38

C 29

•

C 26

C 27

•

C 14

C 25

=

2

9

P（ξ=4）=

C 28

C 29

•

C 26

C 27

•

C 24

C 25

•1=

3

9

．…（10分）
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	2 9	2 9	2 9	3 9

∴Eξ=1×

2

9

+2×

2

9

+3×

2

9

+4×

3

9

=

8

3

．…（12分）