設
a
=（1+cos x，1+sin x），
b
=（1，0），
c
=（1，2）．
（1）求證：（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）；
（2）求|
a
|的最大值，并求此時x的值．φ
分析：（1）由題意可得
a
-
b
和
a
-
c
的坐標，計算其數(shù)量積為0即可；（2）由題意可得|
a
|2的不等式，由三角函數(shù)的值域可得|
a
|2的最大值，開方可得所求．
解答：解：（1）由題意可得
a
-
b
=（cosx，1+sinx），
a
-
c
=（cosx，sinx-1），
∴（
a
-
b
）•（
a
-
c
）=cos2x+sin2x-1=0，
∴（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）
（2）由題意可得|
a
|2=（1+cosx）2+（1+sinx）2
=3+2（sinx+cosx）=3+2
2
sin（x+
π
4
），
由三角函數(shù)的值域可知，當x+
π
4
=2kπ+
π
2
，
即x=2kπ+
π
4
（k∈Z）時，|
a
|2取最大值3+2
2
，
此時|
a
|取最大值
3+2
2
=
2
+1
點評：本題考查向量的數(shù)量積與向量的垂直關系，涉及向量的模長，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
的夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求證：△ABD是正三角形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：咸安區(qū)模擬 題型：解答題

設
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
的夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求證：△ABD是正三角形．

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