【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明:∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,
∴PA⊥AB,PA⊥AD⊥AD⊥AB,
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=BC=2AD=2,則P(0,0,2),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),E(1,1,1),
∴ =(0,1,1), =(0,2,﹣2), =(2,2,﹣2),
∴ =0, =0,
∴DE⊥PB,DE⊥PC,
∵PB∩PC=P,
∴DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知平面PAD的一個(gè)法向量 =(0,2,0).
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),則
∵ =(1,0,﹣2), =(2,2,﹣2),
∴ ,
∴取 =(2,﹣1,1),
∴cos< , >= =﹣ .
【解析】(Ⅰ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系,證明 =0, =0,即可證明DE⊥平面PBC;(Ⅱ)求出平面PAD的一個(gè)法向量、平面PCD的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+n,利用如圖所示的程序框圖計(jì)算該數(shù)列的第10項(xiàng),則判斷框中應(yīng)填的語(yǔ)句是( )
A.n>10
B.n≤10
C.n<9
D.n≤9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校全體教師年齡的頻率分布表如表1所示,其中男教師年齡的頻率分布直方圖如圖2所示.已知該校年齡在歲以下的教師中,男女教師的人數(shù)相等.
表1:
(1)求圖2中的值;
(2)若按性別分層抽樣,隨機(jī)抽取16人參加技能比賽活動(dòng),求男女教師抽取的人數(shù);
(3)若從年齡在的教師中隨機(jī)抽取2人,參加重陽(yáng)節(jié)活動(dòng),求至少有1名女教師的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知, 分別為橢圓: 的上、下焦點(diǎn), 是拋物線: 的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)與圓相切的直線: (其中)交橢圓于點(diǎn), ,若橢圓上一點(diǎn)滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手,該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案:方案(1)規(guī)定每日底薪50元,快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元;方案(2)規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒(méi)有提成,從第45單開始,每完成一單提成5元.該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為[ 25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)隨機(jī)選取一天,估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;
(2)若騎手甲、乙選擇了日工資方案(1),丙、丁選擇了日工資方案(2).現(xiàn)從上述4名騎手中隨機(jī)選取2人,求至少有1名騎手選擇方案(1)的概率;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】旅行社為去廣西桂林的某旅游團(tuán)包飛機(jī)去旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為10000元,旅游團(tuán)中的每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)的人數(shù)在20或20以下,飛機(jī)票每人收費(fèi)800元;若旅游團(tuán)的人數(shù)多于20,則實(shí)行優(yōu)惠方案,每多1人,機(jī)票費(fèi)每張減少10元,但旅游團(tuán)的人數(shù)最多為75,則該旅行社可獲得利潤(rùn)的最大值為( )
A. 12000元B. 15000元C. 12500元D. 20000元
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【題目】已知函數(shù)的一段圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),求的最值及相應(yīng)的取值情況;
(3)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某3D打印機(jī),其打出的產(chǎn)品質(zhì)量按照百分制衡量,若得分不低于85分則為合格品,低于85分則為不合格品,商家用該打印機(jī)隨機(jī)打印了15件產(chǎn)品,得分情況如圖;
(1)寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),并估計(jì)該打印機(jī)打出的產(chǎn)品為合格品的概率;
(2)若打印一件合格品可獲利54元,打印一件不合格品則虧損18元,記X為打印3件產(chǎn)品商家所獲得的利潤(rùn),在(1)的前提下,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】A,B,C是圓O上不同的三點(diǎn),線段CO與線段AB交于點(diǎn)D,若 =λ +μ (λ∈R,μ∈R),則λ+μ的取值范圍是( )
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1, ]
D.(﹣1,0)
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