如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）長軸的右端點為A，短軸端點分別為B、C，另有拋物線y=x2+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過點B作拋物線的切線，切點為P，直線PB與橢圓相交于另一點Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）由四邊形ABCD是菱形，可得D的坐標，且
a2+b=2b
a2+b2
=2b
，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）確定PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得點Q的橫坐標，進而可求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）由四邊形ABCD是菱形，得D（a，a2+b），
且
a2+b=2b
a2+b2
=2b
，解得a=
3
3
，b=
1
3
，
所以橢圓方程為3x2+9y2=1．
（Ⅱ）不妨設P（t，t2+b）（t≠0），
因為y'|x=t=2x|x=t=2t，
所以PQ的方程為y=2t（x-t）+t2+b，即y=2tx-t2+b．
又因為直線PQ過點B，所以-t2+b=-b，即b=
t2
2
．
所以PQ的方程為y=2tx-
t2
2
．
聯(lián)立方程組
y=2tx-
t2
2
x2
4
+
4y2
t4
=1
，消去y，得（t2+64）x2-32tx=0．
所以點Q的橫坐標為xQ=
32t
t2+64
，
所以
|PQ|
|QB|
=
xP-xQ
xQ-xB2
=
t2
32
+1．
又t2=2b∈（0，4），所以
|PQ|
|QB|
的取值范圍為(1 ， 
9
8
)．
點評：本題考查橢圓、拋物線方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某市組織一次高三調研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f（x）=
1
2π
•20
e-
(x-90)2
400
（x∈（-∞，+∞）），則下列命題不正確的是（　�。�
A、該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分
B、分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同
C、分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同
D、該市這次考試的數(shù)學標準差為20

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為單位圓C2：x2+y2=1的直徑，且橢圓的離心率為
6
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓短軸的上頂點B1作直線分別與單位圓C2和橢圓C1交于A，B兩點（A，B兩點均在y軸的右側），設B2為橢圓的短軸的下頂點，求∠AB2B的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右焦點分別為F1、F2，焦距為4，點M是橢圓C上一點，滿足∠F1MF2=60°，且S△F1MF2=
4
3
3

（1）求橢圓C的方程；
（2）過點P（0，2）分別作直線PA、PB交橢圓C于A、B兩點，設PA、PB的斜率分別是k1，k2，且k1+k2=4，求證：直線AB過定點，并求出直線AB的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定圓O的直徑AB=2R，BC為⊙O的動弦，延長BC至D，使CD=BC，AC與OD交于P，求點P軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin2xcos2
φ
2
+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）圖象的一條對稱軸為x=
π
2
．
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)），若函數(shù)F（ωπx）的圖象中至少有一個最高點和一個最低點都落在橢圓x2+
y2
9
=1的內部，求正數(shù)ω的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，如果你在海邊沿著海岸線直線前行，請設計一種測量海中兩個小島A，B之間距離的方法．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，已知a5+a6=
2
3
，則數(shù)列{an}的前10項的和S10=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設
AP
=x
AD
，
PB
•
PC
=y，對于函數(shù)y=f（x），給出以下三個結論：
①當a=2時，函數(shù)f（x）的值域為[1，4]；
②?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；
③?a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）的最大值都等于4．
其中所有正確結論的序號是
 
．

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