Question

如圖，已知PO為正三棱錐P-ABC的高，AB=a，側(cè)面與底面成α角，過O點(diǎn)作平面平行于PC和AB，得截面EFGH．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面積．

Answer 1

分析：（1）由三棱錐P-ABC為正棱錐和PO為正三棱錐P-ABC的高，則0為底面的中心，可知CO⊥AB，易得CO⊥平面PCO，可得到結(jié)論．
（2）如圖所示：OK=

3

6

a，∠PKO=α，PK=

OK

cosα

=

3 a

6cosα

，側(cè)棱為PA=

PK2+AK2

=

3+9(cosα)2

6cosα

a，求得四邊形的邊長，又是矩形．最后由矩形面積求解．

解答：解：（1）∵三棱錐P-ABC為正棱錐
∵PO為正三棱錐P-ABC的高
∴0為底面的中心
∴CO⊥AB
∴CO⊥平面PCO
∴PC⊥AB

（2）如圖所示：OK=

3

6

a
又∵∠PKO=α
∴PK=

OK

cosα

=

3 a

6cosα

側(cè)棱為：PA=

PK2+AK2

=

3+9(cosα)2

6cosα

a
∴EF=

a

2

，EH=

3+9(cosα)2

12cosα

a
又∵四邊形EFGH為矩形
∴S四邊形=

3+9(cosα)2

24cosα

a2

點(diǎn)評：本題主要考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，主要涉及了側(cè)面與底面所成的角，四邊形的形狀及其相應(yīng)量與棱錐的量的關(guān)系，屬中檔題．