Question

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）；（2）

x+y

2

≥

xy

；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號是

 

．

Answer 1

分析：由x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0 知（1）成立，通過舉反例可得（2）不成立，由|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，可知（3）成立，由x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=

(x-y)2+(y-z)2 +(x-z)2

2

≥0  可得（3）成立．

解答：解：∵x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，故有x²+y²+z²+3≥2（x+y+z），故（1）成立．
當x，y中，一個為正數(shù)，而另一個為負數(shù)時，（2）不成立．
由不等式的性質(zhì)得|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，故（3）成立．
x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=

(x-y)2+(y-z)2 +(x-z)2

2

≥0，故（4）成立．
綜上，（1） （3） （4） 正確，
故答案為  （1） （3） （4）．

點評：本題考查平均值不等式的性質(zhì)，以及絕對值不等式的性質(zhì)得應用．