Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D_l中，AB=5，AD=8，
AA₁=4，M為B₁C₁上一點(diǎn)且B₁M=2，點(diǎn)N在線段A₁D上，A₁D⊥AN．
（1）求cos＜＞；
（2）求直線AD與平面ANM所成角的大�。�
（3）求平面ANM與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

解：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
可得向量=（5，2，4），
向量=（0，8，-4），
•=0+16-16=0
∴=⊥，
即cos＜，＞=0．
（2）⊥AM，⊥AN，∴⊥平面AMN，
∴向量=（0，8，-4），是平面AMN的一個(gè)法向量，
又=（0，8，0），||=4，
||=8，•=64；
∴cos＜，＞=，
∴AD與平面AMN所成的角為．
（3）∵平面AMN的法向量是=（0，8，-4），平面ABCD的法向量是
=（0，0，4），∴cos＜，＞=；
∴平面AMN與平面ABCD所成的角為arccos．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的夾角的余弦．
（2）利用線面垂直的判斷定理得到，利用向量的數(shù)量積公式求出法向量與所成角的余弦，
其絕對(duì)值為直線與面所成角的正弦．
（3）求出兩個(gè)面的法向量，利用向量的數(shù)量積求出兩個(gè)法向量的夾角余弦，即兩面所成角的余弦或余弦的相反數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角余弦、求直線與平面所成的角的正弦、求兩個(gè)平面所成的角的余弦．