(04年浙江卷文)(12分)
如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=,AF=1,M是線段EF的中點。
(Ⅰ)求證AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求證AM⊥平面BDF;
(Ⅲ)求二面角A―DF―B的大;
解析: 方法一(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,
∵O、M分別是AC、EF的中點,ACEF是矩形,
∴四邊形AOEM是平行四邊形,
∴AM∥OE。
∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM∥平面BDE。
(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S,連結BS,
∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF,
∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂線定理得BS⊥DF。
∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。
在RtΔASB中,
∴
∴二面角A―DF―B的大小為60º。
(Ⅲ)設CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,則PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,,
∴PQ⊥平面ABF,平面ABF,
∴PQ⊥QF。
在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,
PF=2PQ。
∵ΔPAQ為等腰直角三角形,
∴
又∵ΔPAF為直角三角形,
∴,
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即點P是AC的中點。
方法二
(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系。
設,連接NE,
則點N、E的坐標分別是(、(0,0,1),
∴NE=(,
又點A、M的坐標分別是
()、(
∴ AM=(
∴NE=AM且NE與AM不共線,
∴NE∥AM。
又∵平面BDE, 平面BDE,
∴AM∥平面BDF。
(Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面ADF。
∴為平面DAF的法向量。
∵NE?DB=(?=0,
∴NE?NF=(?=0得
NE⊥DB,NE⊥NF,
∴NE為平面BDF的法向量。
∴cos<AB,NE>=
∴AB與NE的夾角是60º。
即所求二面角A―DF―B的大小是60º。
(Ⅲ)
設P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴CD=(,0,0)
又∵PF和CD所成的角是60º。
∴
解得或(舍去),
即點P是AC的中點。
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