Question

已知函數(shù)

(I)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：

(Ⅱ)若函數(shù)的圖像上存在不同兩點(diǎn)，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，使得在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則說(shuō)函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”.

試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I) 當(dāng)時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是

(Ⅱ) 函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”

【解析】

試題分析：（1）

當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；

當(dāng)即時(shí),由得到或，

所以：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；

當(dāng)即時(shí)，由得到：，

所以:當(dāng)時(shí),函數(shù)的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是；       

（2）若函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，則存在（）使得

即，

即，（*）

當(dāng)時(shí)，（*）對(duì)任意的都成立，所以函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，且函數(shù)的“中值平衡切線”有無(wú)數(shù)條；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則方程在區(qū)間上有解，

記函數(shù)，則，

所以當(dāng)時(shí)，，即方程在區(qū)間上無(wú)解，

即函數(shù)不是“中值平衡函數(shù)”.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，掌握反證法進(jìn)行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．