Question

已知橢圓中心為O，右頂點為M，過定點D（t，0）（t≠±2）作直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l與x軸垂直，求三角形OAB面積的最大值；
（2）若，直線l的斜率為1，求證：∠AMB=90°；
（3）直線AM和BM的斜率的乘積是否為非零常數(shù)？請說明理由．

Answer 1

解：設(shè)直線l與橢圓的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）把x=t代入可得：，（2分）
則，當且僅當時取等號（4分）
（2）由得125x²-240x+44=0，，（6分）
所以===∠AMB=90°（9分）
（3）直線AM和BM的斜率的乘積是一個非零常數(shù)．（11分）
當直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線方程為：y=k（x-t），
由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
則①又②（13分）
所以（15分）
當直線l與x軸垂直時，由得兩交點，
顯然．
所以直線AM和BM的斜率的乘積是一個非零常數(shù)．（16分）
分析：（1）先把x=t代入可得：從而得出面積的函數(shù)表達式，最后利用基本不等式求其最大值即可；
（2）聯(lián)立 得125x²-240x+44=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進行求解．
（3）先分類討論：①當直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線方程為：y=k（x-t），由消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進行求解．
②當直線l與x軸垂直時，利用同樣的方法求解即可．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．