Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）2S_n=-a₂+2a_n+1⇒當(dāng)n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，兩式相減，可得

an+1

an

=2（n≥2），驗證可得n=1時也滿足

an+1

an

=2，從而知{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數(shù)列，于是可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法易求b_n=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，從而可求T_n=1-

1

2n+1-1

．

解答： 解：（Ⅰ）∵2S_n=-a₂+2a_n+1，
∴當(dāng)n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n（n≥2），
∴

an+1

an

=2；
又當(dāng)n=1時，2a₁=-a₂+2a₂，得a₂=2a₁，
∴n=1時也滿足

an+1

an

=2，
∴{a_n}是首項a₁=2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定與裂項法求和，考查推理與運算能力，屬于中檔題．