【題目】已知點A(sin 2x,1),B,設(shè)函數(shù)f(x)=(x∈R),其中O為坐標(biāo)原點.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng)x∈時,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;
(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
【答案】(1)T=π;(2)最大值和最小值分別為1和-;(3),k∈Z.
【解析】
(1)由條件利用兩個向量的數(shù)量積的公式,三角恒等變換求得f(x)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)當(dāng)x∈[0,]時,利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的最大值與最小值;(3)由條件利用正弦函數(shù)的減區(qū)間求得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
(1)∵A(sin 2x,1),B,
∴=(sin 2x,1),
,
∴f(x)==sin 2x+cos
=sin 2x+cos 2xcos -sin 2xsin
=sin 2x+cos 2x
=sin 2xcos +cos 2xsin
=sin.
故f(x)的最小正周期T==π.
(2)∵0≤x≤,
∴≤2x+,
∴-≤sin≤1,
∴f(x)的最大值和最小值分別為1和-.
(3)由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間是,k∈Z.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+ax(a為常數(shù)),g(x)= x3﹣bx+m(b為常數(shù)),若函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為3,x= 是g(x)的一個極值點
(1)求a,b的值;
(2)若存在x∈[﹣4,4]使得f(x)≥g(x)成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
【答案】(1), ;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于 的方程組,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
,
從而證明.
試題解析:((1)由題意,所以,
又,所以,
若,則,與矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
當(dāng)時, , 單調(diào)遞減,且;
當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;且,
所以在上當(dāng)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,
故,
故.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點, 與原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一同學(xué)在電腦中打出若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前2012個圈中的●的個數(shù)是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中α為參數(shù)),曲線C2:(x﹣1)2+y2=1,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:
由 列聯(lián)表算得參照附表,得到的正確結(jié)論是( ).
A. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
B. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ ,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2.
(I)求a、b的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時,不等式f(x)> 恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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