Question

已知定點(diǎn)A（0，p）（p＞0）和長(zhǎng)度為2p的線段MN，當(dāng)線段MN在x軸上滑動(dòng)時(shí)，
（1）求△MAN的外接圓圓心C的軌跡方程．
（2）當(dāng)p=2時(shí)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與C的軌跡相交于D、E兩點(diǎn)，DE的中垂線交x軸于點(diǎn)H，求△HDE面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，由題意設(shè)出M，N的坐標(biāo)，然后利用線段長(zhǎng)度相等列式化簡(jiǎn)；
（2）由題意可得直線l的斜率存在，當(dāng)斜率為0時(shí)，求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，面積可求，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，用點(diǎn)到直線距離公式求三角形的高，代入面積公式后化為關(guān)于k的表達(dá)式，則面積范圍可求，最后可得面積的最小值．

解答：解：（1）設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），不妨設(shè)M（x-p，0），N（x+p，0）．
則∵|AC|=|MC|，∴

x2+(y-p)2

=

p2+y2

化簡(jiǎn)得：x²=2py；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線方程為y=kx+2，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
當(dāng)k=0時(shí)，易得H（0，0），D(2

2

，2)，E(-2

2

，2)，S△HDE=4

2

當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立

y=kx+2 x2=4y

，得x²-4kx-8=0，∴

x1+x2=4k x1x2=-8

，
即DE中點(diǎn)為（2k，2k²+2），DE中垂線方程為y=-

1

k

(x-2k)+2k2+2，
取y=0，得H（2k³+4k，0）．
H到直線kx-y+2=0的距離為

|2k4+4k2+2|

1+k2

．
所以S△HDE=

1

2

•

|2k4+4k2+2|

1+k2

•

1+k2

|x1-x2|=(k2+1)2

16k2+32

＞4

2

故當(dāng)k=0時(shí)，△HDE的面積有最小值，最小值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的引應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．