Question

如圖，四棱錐的底面是矩形，，且側(cè)面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為45°.若存在，試求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）45°.

【解析】第一問先利用取中點(diǎn)，由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面，然后以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積公式得到證明。

第二問中，假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，不妨設(shè)，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為則得到平面的一個(gè)法向量.，

又面的法向量可以是向量的夾角公式，表示出二面角，從而解得。

 

取中點(diǎn)，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則……………………………2分

（Ⅰ）證明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，不妨設(shè)

，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………………8分

∴

設(shè)是平面的法向量，則

不妨取，則得到平面的一個(gè)法向量.…………………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

則45°=

可解得，即

故在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，使得二面角的大小等于45°. ………12分