Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱(chēng)點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

①存在這樣的直線(xiàn)，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)

②如果與都是無(wú)理數(shù)，則直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)

③直線(xiàn)經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)

④直線(xiàn)經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線(xiàn)

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

給直線(xiàn)分別取不同的方程，可得到②和④的反例，同時(shí)找到符合條件①和⑤的直線(xiàn)；通過(guò)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)可證得其經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，③正確.

①令直線(xiàn)為：，則其不與坐標(biāo)軸平行且不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)，①正確；

②令直線(xiàn)為：，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，②錯(cuò)誤；

③令直線(xiàn)為：，過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)，

則，兩式作差得：

即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)整點(diǎn)

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，③正確；

④令直線(xiàn)為：，則不過(guò)整點(diǎn)，④錯(cuò)誤；

⑤令直線(xiàn)為：，則其只經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)，⑤正確.

本題正確結(jié)果：①③⑤