Question

已知向量

m

=（cosα-

2

3

，-1），

n

=（sinα，1），

m

與

n

為共線向量，且α∈[-

π

2

，0]
（Ⅰ）求sinα+cosα；
（Ⅱ）求

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由向量共線的坐標(biāo)運算列式求得sinα+cosα的值；
（Ⅱ）先由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡，然后利用配角的方法求出sinα，則答案可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（cosα-

2

3

，-1），

n

=（sinα，1），且

m

與

n

為共線，
則cosα-

2

3

+sinα=0，即sinα+cosα=

2

3

；
（Ⅱ）

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

=

-sinαcosα•(-sinα)

cosα•(-sinα)

=-sinα．
由（Ⅰ）知sinα+cosα=

2

3

，
∴sin(α+

π

4

)=

1

3

，
又α∈[-

π

2

，0]，
∴α+

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，cos（α+

π

4

）=

2 2

3

．
∴sinα=sin[（α+

π

4

）-

π

4

]=sin(α+

π

4

)cos

π

4

-cos(α+

π

4

)sin

π

4

=

1

3

×

2

2

-

2 2

3

×

2

2

=

2 -4

6

．
∴

cos(- π 2 -α)cos(4π-α)sin(α-3π)

sin(α+ 1 2 π)sin(-4π-α)

=-sinα=

4- 2

6

．

點評：本題考查了向量共線的坐標(biāo)運算，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，是中檔題．