Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且以原點為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓與直線x•sinθ+y•cosθ-1=0相切（θ為常數(shù)）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）如圖，若橢圓C的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線l與橢圓分別交于兩點M、N，求$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原點為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓與直線x•sinθ+y•cosθ-1=0相切，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，推導出$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{7}{2}$．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，利用韋達定理、向量知識，結(jié)合題意能求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且以原點為圓心，橢圓的焦距為直徑的圓與直線x•sinθ+y•cosθ-1=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}=c}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，l⊥x軸，方程為x=1，M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{7}{2}$．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₂+1，y₂），
則$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²，
代入韋達定理得：
$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=$\frac{2（{k}^{4}-1）}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{4{k}^{2}-4{k}^{4}}{2{k}^{2}+1}$+k²+1=$\frac{7{k}^{2}-1}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{7}{2}-\frac{\frac{9}{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由k²≥0，得$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$∈[-1，$\frac{7}{2}$）．
綜上，$\overrightarrow{{F}_{1}M}$•$\overrightarrow{{F}_{1}N}$的取值范圍是[-1，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量知識、橢圓性質(zhì)的合理運用．