定義在R上的函數(shù)，對任意x1，x2∈R，都有數(shù)學(xué)公式，則稱函數(shù)f（x）是R上的凸函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)；
（2）對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

（1）證明：
=
=，
又a＜0，故，
所以當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)，命題得證．----------
（2）解：∵對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴在（0，1]上恒成立，
即=2則a≥-2，------
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------
分析：（1）利用作差法證明，即要證：，只要證：；
（2）首先根據(jù)自變量的范圍進(jìn)行分離常數(shù)，然后問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題，從而求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查了凸函數(shù)的證明，以及函數(shù)恒成立問題和二次函數(shù)的最值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：當(dāng)x∈R時，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），當(dāng)x＞0時，有0＜f（x）＜1．
（1） 求證：f（0）=1，且當(dāng)x＜0時，f（x）＞1；
（2） 證明：f（x）在R上單調(diào)遞減．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意的實數(shù)x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=0，則f（2009）的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意的實數(shù)x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=0，則f（2013）的值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)，對任意x1，x2∈R，都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]，則稱函數(shù)f（x）是R上的凸函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)；
（2）對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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