Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、E₁、F₁分別為AB、AD、A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)． 
（1）求證：平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁； 
（2）求平面BDD₁B₁與平面EFF₁E₁之間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，先證EF∥平面BB₁D₁D，同理有EE₁∥平面BB₁D₁D，即可得平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁．
對(duì)第（2）問(wèn)，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，交EF于M，由（1）知，平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁，設(shè)它們之間的距離為d，則d=

1

2

|AO|，即可得兩平行平面間的距離．

解答： 解：（1）證明：∵E、F、E₁分別為AB、AD、A₁B₁的中點(diǎn)，
∴EF為△ABD的中位線，∴EF∥BD，
∵EF?平面BDD₁B₁，BD?平面BDD₁B₁，∴EF∥平面BDD₁B₁．
同理，EE₁為正方形ABB₁A₁的中位線，有EE₁∥BB₁，得EE₁∥平面BDD₁B₁，
∵EF∩EE₁=E，∴平面EFF₁E₁∥平面BDD₁B₁．
（2）取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，交EF于M，如右圖所示，則AO⊥BD，AO⊥EF，
由（1）知，平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁，∴|OM|為平面BDD₁B₁與平面EFF₁E₁之間的距離，
根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)為a知，|OM|=

1

2

|AO|=

2

4

a，
即平面BDD₁B₁與平面EFF₁E₁之間的距離為

2

4

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面平行的判定方法及兩平行平面間的距離，一般的處理思路是：
1．面面平行的判定：將面面平行問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面平行問(wèn)題，即由線面平面⇒面面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行問(wèn)題，從而將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)線與線的位置關(guān)系．
2．利用定義法求兩平行平面間的距離：第一步，作出公垂線段；第二步，求公垂線段的長(zhǎng)，即得距離．