Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若數(shù)列：2，f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），2n+4（n∈N^*）成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），對(duì)任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由2n+4=2+（n+2-1）d，
解得d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）bn=an•f(an)=(2n+2)a2n+2=(n+1)•22n+3，

bn+1

bn

=

n+2

n+1

•4＞1，
∴{b_n}為遞增數(shù)列．
b_n中的最小項(xiàng)為b1=2•25=26，f-1(t)=2t，
∴t＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．