設函數(shù)f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R)的最大值為M，若有10個互不相等的正數(shù)xi滿足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），則x1+x2+…+x10=
140π
3
140π
3
．
分析：由f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R)=2sin（2x+
π
6
），知f（x）周期為T=π，f（xi）=M為最大值，由2xi+
π
6
=2kπ+
π
2
，xi=kπ+
π
6
，且xi＜10π，知x1=
π
6
，x2=π+
π
6
，x3=2π+
π
6
，…，x10=9π+
π
6
，由此能求出x1+x2+…+x10．
解答：解：∵f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx(x∈R)
=cos2x+
3
sin2x
=2sin（2x+
π
6
），
∴f（x）周期為T=π，f（xi）=M為最大值，
∵2xi+
π
6
=2kπ+
π
2
，xi=kπ+
π
6
，且xi＜10π，
所以x1=
π
6
，x2=π+
π
6
，x3=2π+
π
6
，…，x10=9π+
π
6
，
∴x1+x2+…+x10=（0+1+2+3+…+9）π+10•
π
6
=
140π
3
．
故答案為：
140π
3
．
點評：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
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