Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，左頂點為A，O為坐標原點．
若．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設過點F₁的直線l交橢圓C于M、N兩點，求的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由得，∴
由得，∴c=1，∴b=1
∴橢圓C的方程為；
（II）由（I）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），則斜率不存在時，
，于是
∴
斜率存在時，設直線MN的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得
（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
∵，
∴
∵1+2k²≥1，∴
∴
綜上知，
分析：（I）由，根據(jù)橢圓的定義可得，由，根據(jù)離心率的定義得，所以c=1，所以b=1，從而可求橢圓C的方程；
（II）由（I）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），則斜率不存在時，用坐標分別表示出，從而利用數(shù)量積公式可求
斜率存在時，設直線MN的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得
（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則用坐標分別表示出，從而利用數(shù)量積公式可求的范圍．
點評：本題以向量為載體，考查橢圓的標準方程，考查向量的數(shù)量積，解題時應注意分類討論，同時正確用坐標表示向量．