已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),函數(shù)f(x)在R上有三個零點,且1是其中一個零點.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求f(2)的取值范圍;
(Ⅲ)設g(x)=x-1,且f(x)>g(x)的解集為(-∞,1),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)題意f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),則當x=0時,f(x)取到極小值,求出函數(shù)的導數(shù)代入函數(shù)的倒數(shù)即可求出b的值
(Ⅱ)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,根據(jù)1是函數(shù)f(x)的一個零點,求出ac的關(guān)系,根據(jù)導數(shù)求出導數(shù)的兩根,再根據(jù)f(x)在(0,1)上是增函數(shù),且函數(shù)f(x)在R上有三個零點,求出a的取值范圍
(Ⅲ)點(1,0)是函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象的一個交點,結(jié)合函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象及其增減特征可知,當且僅當函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象只有一個交點(1,0)時,f(x)>g(x)的解集為(-∞,1).
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴f′(x)=-3x2+2ax+b、(1分)
∵f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,1)上是增函數(shù),
∴當x=0時,f(x)取到極小值,即f′(0)=0、∴b=0、(3分)
(Ⅱ)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函數(shù)f(x)的一個零點,即f(1)=0,∴c=1-a、(5分)
∵f′(x)=-3x2+2ax=0的兩個根分別為x1=0,x2=,
∵f(x)在(0,1)上是增函數(shù),且函數(shù)f(x)在R上有三個零點,
∴x2=>1,即a、(7分)
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7
故f(2)的取值范圍為(-,+∞)、(9分)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)知f(x)=-x3+ax2+1-a,且a>、
∵1是函數(shù)f(x)的一個零點,∴f(1)=0,
∵g(x)=x-1,∴g(1)=0,
∴點(1,0)是函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象的一個交點、(10分)
結(jié)合函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象及其增減特征可知,當且僅當函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象只有一個交點(1,0)時,f(x)>g(x)的解集為(-∞,1)、
即方程組(1)只有一個解、(11分)
由-x3+ax2+1-a=x-1,得(x3-1)-a(x2-1)+(x-1)=0、
即(x-1)(x2+x+1)-a(x-1)(x+1)+(x-1)=0、
即(x-1)[x2+(1-a)x+(2-a)]=0、
∴x=1或x2+(1-a)x+(2-a)=0、(12分)
由方程x2+(1-a)x+(2-a)=0,(2)
得△=(1-a)2-4(2-a)=a2+2a-7、∵a>,
當△<0,即a2+2a-7<0,解得(13分)
此時方程(2)無實數(shù)解,方程組(1)只有一個解、
所以時,f(x)>g(x)的解集為(-∞,1)、(14分)
(Ⅲ)解法2:由(Ⅱ)知f(x)=-x3+ax2+1-a,且a>、
∵1是函數(shù)f(x)的一個零點
∴f(x)=-(x-1)[x2+(1-a)x+1-a]
又f(x)>g(x)的解集為(-∞,1),
∴f(x)-g(x)=-(x-1)[x2+(1-a)x+2-a]>0解集為(-∞,1)(10分)
∴x2+(1-a)x+2-a>0恒成立(11分)
∴△=(1-a)2-4×1×(2-a)<0(12分)
∴a2+2a-7<0,∴(a+1)2<8
(14分)
點評:該題考查函數(shù)的求導,根據(jù)函數(shù)的零點求出a的取值范圍,利用判別式求方程的解,
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π
4
)
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π
6
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1
x

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m
2
]
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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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